Треугольник Паскаля

Содержание

• Биография Блеза Паскаля на ленте времени

• Арифметический треугольник

• Свойства

Биография Блеза Паскаля на ленте времени

https://padlet.com/arm41104/x9id17zdtd8163sz

Арифметический треугольник

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием «meru-prastaara» встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма.

В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя).

В Италии треугольник Паскаля иногда называют «треугольником Тартальи», поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля.

На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета, также изображён треугольник Паскаля.

А в 1665 году вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности далеко опережала своих предшественников.

Свойства

Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.

В строке с номером n:

первое и последнее числа равны 1

второе и предпоследнее числа равны n.

третье число равно треугольному числу Tn=n(n+1)/2 что также равно сумме

номеров предшествующих строк.

четвёртое число является тетраэдрическим.

m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту.

Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:

Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.

Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2n .

Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом [4] (следствие теоремы Люка).

Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми

номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1

меньше.

Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.