Треугольник Серпинского

Достижения Серпинского

В 1906 г. получил степень доктора философии на философском факультете Ягеллонского университета на основе работы «О суммировании ряда ∑ m2 + n2≤xf (m2 + n2)» (его научным руководителем был ботаник Эдуард Янчевский-Глинка).

В январе 1908 года он стал членом Варшавского научного общества, а в июле получил степень абилитации в Львовском университете на основе своей работы по теории чисел, а в 1909 году он начал читать лекции по теории множеств как отдельному предмету.

В сентябре 1910 г. он был назначен доцентом и возглавил 2-й отдел математики. В 1910-1914 годах он опубликовал свои первые книги: Теория иррациональных чисел, Очерк теории множеств, Теория чисел. Эти работы были награждены Краковской Академией художеств и наук, которая в 1917 году избрала его своим членом-корреспондентом.

Серпинский руководил достижениями научных трудов и книг. В 1908–1914 годах, когда он читал лекции во Львовском университете , он опубликовал три книги в дополнение к многочисленным научным работам. Это книги «Теория иррациональных чисел» (1910 г.), «Основные положения теории множеств» (1912 г.) и «Теория чисел» (1912 г.).

«Теория иррациональных чисел»

Теоретическая значимость исследования: – обоснована целесообразность использования в качестве основного средства визуализации иррациональных чисел в школьном курсе алгебры самоподобных визуальных моделей; – раскрыта сущность понятия самоподобной визуальной модели иррационального числа; – разработана модель визуализации иррациональных чисел, изучаемых в школьном курсе алгебры, включающая цели, объекты, формы, методы, механизмы и средства наглядного представления учебного материала. Практическая значимость исследования заключается в том, что разработанное методическое обеспечение к использованию самоподобных визуальных моделей при изучении иррациональных чисел может быть непосредственно применено в практике математического образования. Данное методическое обеспечение может быть использовано на уроках алгебры в 8–11 классах средней школы, а также на факультативных занятиях по математике.

В тяжелые годы оккупации он вел секретные лекции в подпольном университете. Тогда же были написаны научные труды и книги.

Серпинский первым в мире привел пример абсолютно нормального числа. Нормальное число - это иррациональное число, в котором цифры встречаются с одинаковой частотой (они не повторяются регулярно или периодически, но встречаются одинаково часто). Следовательно, нормальное число должно быть записано с достаточно большим количеством цифр, таких как 10% единиц, 10% двоек и т. Д.Интересно, что было обнаружено, что в первых 30 миллионах цифр числа π все цифры встречаются равномерно, но это не означает, что число π нормальное, потому что мы не знаем, что произойдет, если мы возьмем, например, сто миллионов цифр числа π? С другой стороны, абсолютно нормальное число является нормальным независимо от того, в какой системе счисления оно записано, поэтому, будучи нормальным в десятичной системе, оно остается нормальным в двоичной, троичной и всех других системах счисления. Тезис о том, что такие числа должны существовать, был доказан и раньше, но Серпинский был первым, кто показал построение такого числа.

Второе направление исследований Вацлава Серпинского - теория множеств, то есть наука о множествах. Приведем здесь интересную коллекцию, которая получила название « Резьба Серпинского». Представим, что мы делим квадрат на девять равных квадратов. Затем снимаем средний. Так же поступаем и с оставшимися восемью - убираем с них средние квадраты и делаем это бесконечно ... Это, конечно, не самые важные достижения профессора Серпинского. Математик опубликовал более 700 научных работ и около 30 книг во многих областях математики. Он работал непрерывно всю оставшуюся жизнь. В возрасте 78 лет он ушел из Варшавского университета, но до 85 лет вел семинар по теории чисел в Польской академии наук. Он опубликовал свою последнюю книгу, когда ему было 82 года, и он постоянно публиковал научные статьи до самой смерти, в возрасте 87 лет.

Математические термины

Какие термины и понятия связаны с именем Серпинского?

Он автор трудов по теории множеств и её приложениям к топологии, а также теории функций действительного переменного. С его именем связаны такие математические понятия и термины, которые известны в математике, как: треугольник Серпинского, кривая Серпинского, ковёр Серпинского, числа Серпинского, проблема Серпинского, константа Серпинского и пространство Серпинского, куб Серпинского, пирамида Серпинского.

Треугольник Серпинского, также известен как «салфетка» Серпинского, «сито» Серпинского или же «прокладка» с Серпинского, представляет собой фрактал привлекательный фиксированный набор с общей формой равносторонний треугольник , разделенный рекурсивно на меньшие равносторонние треугольники. Первоначально построенный в виде кривой, это один из основных примеров самоподобных множеств, т. е. представляет собой математически сгенерированный узор(декоративный узор появился много веков назад до работ Серпинского), воспроизводимый при любом увеличении или уменьшении.

Кривые Серпинского («Квадратные снежинки Серпинского») - это рекурсивно определённая последовательность непрерывных замкнутых плоских фрактальных кривых. Кривая в пределе при n → ∞ полностью заполняет единичный квадрат, так что предельная кривая, также называемая кривой Серпинского, является примером заполняющих пространство кривых.

Ковёр Серпинского - фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора. Построение ковра Серпинского получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. Также известен как квадрат Серпинского.

В теории чисел нечётное натуральное число k является числом Серпинского, если для любого натурального числа n число k × 2^n + 1 является составным.

Проблема Серпинского - задача отыскания минимального числа Серпинского.

Константа Серпинского (постоянная Серпинского) – это математическая константа, обозначаемая как k. Один из способов определить это как следующий предел: K = lim n → ∞ [∑ k = 1 nr 2 (k) / k - π ln ⁡ n] где r 2 (k) - это количество представлений k в виде суммы формы a + b для целого числа a и b. Его можно представить в замкнутой форме так: K = π (2 ln ⁡ 2 + 3 ln ⁡ π + 2 γ - 4 ln ⁡ Γ (1 4)) = π ln ⁡ (4 π 3 e 2 γ Γ (1 4) 4) = π ln ⁡ (e 2 γ 2 G 2) = 2,584981759579253217065893587383…где G - постоянная Гаусса , а γ - константа Эйлера-Маскерони.

Пространство Серпинского или, соединенное двумя множество точек - это конечное топологическое пространство с двумя точками, только одна из которых является закрытой . Это наименьший пример топологического пространства , которое не является ни тривиальным , ни дискретным.

Куб Серпинского или же губка Менгера – это обобщение ковра Серпинского в трехмерное пространство.

Пирамида Серпинского – это один из трехмерных аналогов треугольника Серпинского.

Объекты с использованием фрактала "Треугольник Серпинского"

Эйфелева башня - замечательное творение конструктора Гюстафа Эйфеля. Это самая известная архитектурная достопримечательность Парижа, известная как символ Франции, воздвигнутая на Марсовом поле. Она является самым узнаваемым и высоким зданием в Париже, её высота вместе с новой антенной составляет 324 метра, что примерно равняется с домом в 81 этаж! Эйфелева Башня была построена в 1889 году и имеет удивительную историю происхождения. В 1889 году в Париже, в память столетнего юбилея Французской революции, была проведена Всемирная выставка, именно благодаря выставке городские власти поручили придумать и воздвигнуть временное сооружение служащее ей входной аркой.

Изображения треугольника Серпинского в 1919 году стали мотивом нескольких графических произведений Георгия Нарбута, в частности эта фигура использована им при оформлении нескольких выпусков журнала «Мистецтво» (1919—1920 гг.).

Вариации фигур на основе треугольника Серпинского использованы в интерьере синагоги Бен-Эзра, Каир, Египет.

Четыре первых итерации фрактальных треугольников Серпинского использовались в орнаментах геометрической мозаики стиля косматеско в средневековых соборах Италии (начиная с XII века), арабских и персидских интерьерах. Искусство косматеско(итал.arte cosmatesco) — разновидность мозаичного набора, главным образом полов, из мелких кусочков разноцветного камня и мрамора. Типична для средневековой Италии. Связана с деятельностью нескольких поколений мастеров итальянской семьи Космати (Cosmati) XII—XIV веков. Мастера этой семьи работали в Римеи окрестностях. Название дал в 1860 году итальянский архитектор и историк искусства Камилло Бойто.

В основе Великого Египетского музея – археологического музея в Гизе, – открытого в 2015 году, лежит прямая цитата. В конструкции использован треугольник Серпинского как дизайн фасада и внутренних помещений.